6038. Круг разделили хордой
AB
на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки
A
. Пусть при этом повороте точка
B
перешла в точку
D
(см.рис.). Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка
BD
, перпендикулярны друг другу.

Указание. Рассмотрите композицию двух поворотов: вокруг точки
C
на угол
BCA
и вокруг точки
E
на угол
AED
, где
C
и
E
— середины дуг
AB
и
AD
соответственно.
Решение. Первый способ. Пусть
C
и
E
— середины дуг соответственно оставшейся на месте дуги
AB
и дуги
AD
,
M
— середина отрезка
BD
(рис. 1).
Рассмотрим композицию поворота вокруг точки
C
, переводящего точку
B
в
A
, и поворота вокруг точки
E
, переводящего
A
в
D
(оба поворота против часовой стрелки). Поскольку
\angle BCA+\angle AED=180^{\circ}
, эта композиция есть центральная симметрия (см. задачу 6710). Центр симметрии — середина отрезка между точкой
B
и её образом
D
при рассматриваемой композиции, т. е. точка
M
.
Образ
C_{1}
точки
C
при этой композиции лежит на продолжении отрезка
CM
за точку
M
(
C_{1}M=MC
). С другой стороны, при первом повороте точка
C
остаётся на месте, а при втором — переходит в точку
C_{1}
. Поэтому
EC_{1}=EC
. Значит,
ME
— медиана, а следовательно, высота равнобедренного треугольника
CEC_{1}
, т. е.
EM\perp MC
.
Второй способ. Пусть
C
и
E
— середины дуг соответственно оставшейся на месте дуги
AB
и дуги
AD
,
M
— середина отрезка
BD
(рис. 2),
K
и
H
— середины отрезков
AD
и
AB
соответственно,
F
— диаметрально противоположна точке
C
(середина «старой» дуги
AB
).
HM
и
KM
— средние линии равнобедренного треугольника
ABD
, поэтому
AKMH
— ромб. Следовательно,
EK\perp AD
,
AD\parallel HM
,
CH\perp AB
,
AB\parallel KM
и
\angle EKM=\angle MHC
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Кроме того,
CH:HM=CH:AH=AH:HF=AK:KE=MK:KE,

значит, треугольники
CHM
и
MKE
подобны, а так как у них две пары сторон соответственно перпендикулярны, то и третья тоже:
EM\perp MC
.

Автор: Насыров З.
Источник: Турнир городов. — 1991-1992, XII, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 2, с. 20, М1327
Источник: Задачник «Кванта». — М1327