6042. На плоскости дан угол с вершиной O
и окружность внутри угла. На окружности заданы точки A
и B
. Постройте на окружности точку M
так, чтобы прямая AM
пересекала одну сторону угла, а прямая BM
— другую сторону в точках, равноудалённых от вершины O
.
Решение. Предположим, задача решена. Пусть точка M
на данной окружности построена, причём прямая MA
пересекает одну сторону угла в точке P
, прямая MB
пересекает вторую сторону угла в точке Q
и OP=OQ
.
Пусть \angle POQ=\alpha
, \angle AMB=\beta
. Заметим, что вписанный в данную окружность угол AMB
равен половине дуги AB
, на которую этот угол опирается, поэтому он не зависит от положения точки M
на дополнительной дуге.
Рассмотрим поворот вокруг точки O
на угол \alpha
, при котором точка Q
переходит в точку P
. Пусть точка B
переходит при этом повороте в некоторую точку B_{1}
. Тогда луч QB
переходит в луч PB_{1}
, причём \angle B_{1}PM=\alpha+\beta
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ B_{1}
данной точки B
при повороте вокруг данной точки O
на данный угол \alpha
, затем на отрезке AB_{1}
как на хорде строим две дуги, каждая из которых вмещает угол \alpha+\beta
, где \beta
— половина угловой величины дуги AB
данной окружности (см. задачу 2889). Если P
— точка пересечения стороны угла с одной из построенных дуг, а прямая AP
вторично пересекает данную окружность в точке M
, то M
— искомая точка. Точка P'
пересечения со стороной угла второй построенной дуги даёт нам второе решение M'
.