6043. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне a
, проведённой к ней высоте h
и радиусу r
вписанной окружности.
Решение. Предположим, задача решена. Построен треугольник ABC
, BC=a
, высота AH=h
, радиус вписанной окружности равен r
. Пусть вписанная окружность касается сторон AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Тогда AM=AN=p-a
, где p
— полупериметр треугольника (см. задачу 219). С другой стороны \frac{ah}{2}=pr
, откуда p=\frac{ah}{2r}
(этот отрезок можно построить по данным отрезкам a
, h
и r
). Прямая BC
касается вписанной окружности треугольника, а также окружности с центром A
и радиусом, равным высоте h
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим произвольную окружность радиуса r
. Через произвольную точку M
этой окружности проводим касательную и откладываем на ней отрезок MA=\frac{ah}{2r}-a
. Из точки A
проводим вторую касательную AN
. Затем строим окружность с центром A
радиусом h
и проводим общую касательную к двум построенным окружностям, пересекающую лучи AM
и AN
в искомых точках B
и C
соответственно.
Докажем, что BC=a
. Действительно, поскольку по построению M
— точка касания со стороной AB
, то AM=p-BC
, или \frac{ah}{2r}-a=p-BC
, откуда
BC=p-\frac{ah}{2r}+a=p-p+a=a.
Что и требовалось доказать.
Если r\lt h
, то задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.