6047. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B
,
KM
— общая касательная к этим окружностям (
K
и
M
— точки касания,
A
ближе к
KM
, чем
B
). Пусть
P
— проекция точки
M
на прямую
AK
. Докажите, что
BA
— биссектриса угла
PBK
.
Решение. Пусть прямые
MK
и
AB
пересекаются в точке
L
. По теореме о касательной и секущей
LK^{2}=LB\cdot LA=LM^{2}
, поэтому
LK=LM
, значит,
PL
— медиана прямоугольного треугольника
MPK
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1109), треугольник
PKL
— равнобедренный.
Обозначим
\angle LKP=\angle LPK=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle KBA=\angle LKA=\angle LPK=\alpha
. Из точек
B
и
P
, лежащих по одну сторону от прямой
KL
, отрезок
KL
виден под одним и тем же углом
\alpha
, значит, точки
B
,
L
,
K
и
P
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы
KBL
и
PBL
опираются на равные хорды
KL
и
PL
. Следовательно,
\angle KBL=\angle PBL
. Что и требовалось доказать.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 1005, с. 123