6047. Две окружности пересекаются в точках A
и B
, KM
— общая касательная к этим окружностям (K
и M
— точки касания, A
ближе к KM
, чем B
). Пусть P
— проекция точки M
на прямую AK
. Докажите, что BA
— биссектриса угла PBK
.
Решение. Пусть прямые MK
и AB
пересекаются в точке L
. По теореме о касательной и секущей LK^{2}=LB\cdot LA=LM^{2}
, поэтому LK=LM
, значит, PL
— медиана прямоугольного треугольника MPK
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1109), треугольник PKL
— равнобедренный.
Обозначим \angle LKP=\angle LPK=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle KBA=\angle LKA=\angle LPK=\alpha
. Из точек B
и P
, лежащих по одну сторону от прямой KL
, отрезок KL
виден под одним и тем же углом \alpha
, значит, точки B
, L
, K
и P
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы KBL
и PBL
опираются на равные хорды KL
и PL
. Следовательно, \angle KBL=\angle PBL
. Что и требовалось доказать.