6049. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, M
— середина стороны AC
. Докажите, что прямая MH
проходит через точку пересечения окружности, описанной около треугольника ABC
, и окружности с диаметром BH
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, Q
— середина отрезка BH
.
Известно, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257), поэтому QH=\frac{1}{2}BH=OM
, а так как QH\parallel OM
, то OMHQ
— параллелограмм. Следовательно, MH\parallel OQ
.
Пусть K
— отличная от B
точка пересечения окружности с диаметром BH
и описанной окружности треугольника ABC
. Линия центров OQ
этих окружностей перпендикулярна из общей хорде BK
. Точка K
лежит на окружности с диаметром BH
, значит, HK\perp BK
. Поэтому HK\parallel OQ
, а точки M
, H
и K
лежат на одной прямой. Отсюда следует решение задачи.
Второй способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, BB_{1}
— диаметр этой окружности, K
— отличная от B
точка пересечения окружности с диаметром BH
и описанной окружности треугольника ABC
.
Точка C
лежит на окружности с диаметром BB_{1}
, значит, B_{1}C\perp BC
. Прямые B_{1}C
и AH
перпендикулярны одной и той же прямой BC
, поэтому AH\parallel B_{1}C
. Аналогично, CH\perp B_{1}A
. Следовательно, AHCB_{1}
— параллелограмм. Его диагональ HB_{1}
проходит через середину M
диагонали AC
. Таким образом, точки B_{1}
, H
и M
лежат на одной прямой. Докажем, что на этой прямой лежит и точка K
. Отсюда будет следовать решение задачи.
Действительно, точка K
лежит на окружности с диаметром BB_{1}
, значит, B_{1}K\perp BK
. С другой стороны, точка K
лежит на окружности с диаметром BH
, значит, HK\perp BK
. Следовательно, точки K
, H
, B_{1}
(а значит, и M
) лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.