6052. Противоположные стороны вписанного четырёхугольника равны a
и b
, угол между диагоналями равен \alpha
. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}\pm2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=a
и CD=b
, а \angle AKB=\alpha
.
Угол между пересекающимися хордами AC
и BD
равен полусумме противоположных дуг AB
и CD
, высекаемых этими хордами на окружности (см. задачу 26), поэтому сумма этих дуг равна 2\alpha
. Отложим на окружности такую точку M
, для которой дуга DCM
равна 2\alpha
. Тогда CM=AB=a
и \angle DCM=\frac{360^{\circ}-2\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha
.
По теореме косинусов
DM=\sqrt{CM^{2}+CD^{2}-2CM\cdot CD\cos\angle DCM}=
=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}.
Пусть радиус окружности равен R
. По теореме синусов
R=\frac{DM}{2\sin\angle DCM}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}}{2\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}.
Для случая, когда \angle BKC=\alpha
, аналогично получим, что
R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}{2\sin\alpha}.