6054. Постройте треугольник по стороне, сумме двух других сторон и радиусу вписанной окружности.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен, BC=a
, AB+AC=b
, а радиус его вписанной окружности равен r
(a
, b
и r
— данные отрезки). Пусть M
и N
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и AC
соответственно, O
— центр окружности, p
— полупериметр треугольника. Тогда
AM=AN=p-BC=\frac{BC+AB+AC}{2}-BC=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{b-a}{2}
(см. задачу 219).
Пусть K
— точка касания с продолжением стороны AB
вневписанной окружности треугольника ABC
. Тогда
AK=p=AM+BC=\frac{b-a}{2}+a=\frac{a+b}{2}.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим окружность радиуса r
с центром в произвольной точке O
. На произвольной прямой, проходящей через точку O
, откладываем отрезок OA=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}}
. Через точку A
проводим касательные AM
и AN
к окружности (M
и N
— точки касания). На луче AM
откладываем отрезок AK=\frac{a+b}{2}
. Через точку K
проводим прямую, перпендикулярную AK
. Если эта прямая пересекается с лучом AO
в точке O_{1}
, строим окружность радиуса O_{1}K
с центром O_{1}
. Наконец, строим общую внутреннюю касательную к двум построенным окружностям. Если она пересекает лучи AM
и AN
в точках соответственно B
и C
, то треугольник ABC
— искомый.
Действительно, окружность радиуса O_{1}K
с центром O_{1}
— вневписанная окружность треугольника ABC
, касающаяся стороны BC
, поэтому, если p
— полупериметр треугольника ABC
, то p=AK=\frac{a+b}{2}
, а так как AM=p-BC
, то
BC=p-AM=\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}=a.
Тогда
AB+AC=2p-BC=2p-a=a+b+c-a=b+c,
а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
равен
\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}}=r.
Что и требовалось доказать.
Задача имеет решение, причём единственное, если \frac{b-a}{2}\gt r
.