6068. Даны две пересекающиеся окружности. Пусть
A
— одна из точек их пересечения. Из произвольной точки, лежащей на продолжении общей хорды данных окружностей, проведены к одной из них две касательные, касающиеся её в точках
M
и
N
. Пусть
P
и
Q
— точки пересечения (отличные от
A
) прямых соответственно
MA
и
NA
со второй окружностью. Докажите, что прямая
MN
делит отрезок
PQ
пополам.
Указание. Пусть
C
— точка на продолжении общей хорды
AB
. Докажите, что
\frac{MB^{2}}{MA^{2}}=\frac{CB}{CA}
. Примените теорему Менелая к треугольнику
BPQ
и прямой
MN
.
Решение. Пусть
B
— вторая точка пересечения данных окружностей,
C
— точка на продолжении общей хорды
AB
за точку
B
.
Докажем сначала, что
\frac{CB}{CA}=\frac{MB^{2}}{MA^{2}}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BMC=\angle BAM=\angle CAM,

поэтому треугольник
BMC
подобен треугольнику
MAC
, значит,
\frac{CB}{MC}=\frac{MB}{MA}
и
\frac{MC}{CA}=\frac{MB}{MA}
. Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{CB}{CA}=\left(\frac{MB}{MA}\right)^{2}.

Что и требовалось доказать.
Аналогично
\frac{CB}{CA}=\frac{NB^{2}}{NA^{2}}
.
Рассмотрим треугольник
PBM
. Обозначим
\angle PMB=\alpha
,
\angle BPM=\beta
(
\alpha
и
\beta
— постоянны). По теореме синусов
\frac{PM}{\sin\angle PBM}=\frac{MB}{\sin\angle BPM},~~\frac{PM}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}=\frac{MB}{\sin\beta},

\frac{PM}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{MB}{\sin\beta},~~PM=\frac{MB\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta},

поэтому
\frac{PM}{MA}=\frac{\frac{MB\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}}{MA}=\frac{MB}{MA}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{CB}{CA}}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}

(так как по доказанному
\left(\frac{MB}{MA}\right)^{2}=\frac{CB}{CA}
).
Аналогично докажем, что
\frac{AN}{NQ}=\sqrt{\frac{CA}{CB}}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
.
Пусть прямая
MN
пересекает хорду
PQ
в точке
K
. Применяя теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольнику
BPQ
и прямой
MN
, получим, что
\frac{QK}{KP}\cdot\frac{PM}{MA}\cdot\frac{AN}{NQ}=1,~~\frac{QK}{KP}\cdot\sqrt{\frac{CB}{CA}}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}\cdot\sqrt{\frac{CA}{CB}}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=1,~~\frac{QK}{KP}=1.

Следовательно,
K
— середина отрезка
PQ
.
(см. задачу 1622)
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 479, с. 58