6068. Даны две пересекающиеся окружности. Пусть A
— одна из точек их пересечения. Из произвольной точки, лежащей на продолжении общей хорды данных окружностей, проведены к одной из них две касательные, касающиеся её в точках M
и N
. Пусть P
и Q
— точки пересечения (отличные от A
) прямых соответственно MA
и NA
со второй окружностью. Докажите, что прямая MN
делит отрезок PQ
пополам.
Указание. Пусть C
— точка на продолжении общей хорды AB
. Докажите, что \frac{MB^{2}}{MA^{2}}=\frac{CB}{CA}
. Примените теорему Менелая к треугольнику BPQ
и прямой MN
.
Решение. Пусть B
— вторая точка пересечения данных окружностей, C
— точка на продолжении общей хорды AB
за точку B
.
Докажем сначала, что \frac{CB}{CA}=\frac{MB^{2}}{MA^{2}}
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BMC=\angle BAM=\angle CAM,
поэтому треугольник BMC
подобен треугольнику MAC
, значит, \frac{CB}{MC}=\frac{MB}{MA}
и \frac{MC}{CA}=\frac{MB}{MA}
. Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{CB}{CA}=\left(\frac{MB}{MA}\right)^{2}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично \frac{CB}{CA}=\frac{NB^{2}}{NA^{2}}
.
Рассмотрим треугольник PBM
. Обозначим \angle PMB=\alpha
, \angle BPM=\beta
(\alpha
и \beta
— постоянны). По теореме синусов
\frac{PM}{\sin\angle PBM}=\frac{MB}{\sin\angle BPM},~~\frac{PM}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)}=\frac{MB}{\sin\beta},~
\frac{PM}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{MB}{\sin\beta},~~PM=\frac{MB\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta},~
поэтому
\frac{PM}{MA}=\frac{\frac{MB\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}}{MA}=\frac{MB}{MA}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{CB}{CA}}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}
(так как по доказанному \left(\frac{MB}{MA}\right)^{2}=\frac{CB}{CA}
).
Аналогично докажем, что \frac{AN}{NQ}=\sqrt{\frac{CA}{CB}}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
.
Пусть прямая MN
пересекает хорду PQ
в точке K
. Применяя теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольнику BPQ
и прямой MN
, получим, что
\frac{QK}{KP}\cdot\frac{PM}{MA}\cdot\frac{AN}{NQ}=1,~~\frac{QK}{KP}\cdot\sqrt{\frac{CB}{CA}}\cdot\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}\cdot\sqrt{\frac{CA}{CB}}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=1,~~\frac{QK}{KP}=1.
Следовательно, K
— середина отрезка PQ
.
(см. задачу 1622)