6072. Высоты треугольника ABC
, опущенные из вершин A
и B
, равны h_{a}
и h_{b}
, а биссектриса треугольника, проведённая из вершины C
, равна l
. Найдите угол ACB
.
Ответ. 2\arcsin\frac{h_{a}h_{b}}{l(h_{a}+h_{b})}
.
Решение. Пусть AM=h_{a}
и BN=h_{b}
— высоты треугольника ABC
со сторонами BC=a
и AC=b
. Обозначим \angle ACB=\gamma
.
Из прямоугольных треугольников BNC
и AMC
находим, что
a=BC=\frac{BN}{\sin\gamma}=\frac{h_{a}}{\sin\gamma},~b=AC=\frac{AM}{\sin\gamma}=\frac{h_{b}}{\sin\gamma}.
По формуле для биссектрисы треугольника (см. задачу 4021)
l=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}=\frac{2\cdot\frac{h_{a}}{\sin\gamma}\cdot\frac{h_{b}}{\sin\gamma}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}}{\frac{h_{a}}{\sin\gamma}+\frac{h_{b}}{\sin\gamma}}=\frac{2h_{a}h_{b}\cos\frac{\gamma}{2}}{(h_{a}+h_{b})\sin\gamma}=\frac{h_{a}h_{b}}{(h_{a}+h_{b})\sin\frac{\gamma}{2}}.
Отсюда находим, что \sin\frac{\gamma}{2}=\frac{h_{a}h_{b}}{l(h_{a}+h_{b})}
. Следовательно,
\gamma=2\arcsin\frac{h_{a}h_{b}}{l(h_{a}+h_{b})}.