6076. Пусть M
— точка пересечения двух окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
, точки A
и B
лежат соответственно на первой и второй окружностях и \angle AMB=90^{\circ}
. Докажите, что выражение AO_{2}^{2}+BO_{1}^{2}-AB^{2}
не зависит от выбора точек A
и B
.
Решение. Пусть прямая AM
вторично пересекает вторую окружность в точке D
, а прямая BM
вторично пересекает первую окружность в точке C
. Поскольку \angle AMB=90^{\circ}
, то \angle BMD=90^{\circ}
и \angle AMC=90^{\circ}
, значит, BD
и AC
— диаметры окружностей.
Пусть радиусы первой и второй окружностей равны R_{1}
и R_{2}
соответственно, а O_{1}O_{2}=a
. Отрезки BO_{1}
и AO_{2}
— медианы треугольников ABC
и ABD
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
AO_{2}^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2AD^{2}-BD^{2})=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2AD^{2}-4R_{2}^{2}),
BO_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2})=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-4R_{1}^{2}).
Пусть L
— середина AB
. Тогда LO_{1}
и LO_{2}
— средние линии треугольников ABC
и ABD
, поэтому BC=2LO_{1}
и AD=2LO_{2}
, а так как LO_{1}\parallel BM
и LO_{2}\parallel AM
, то \angle O_{1}LO_{2}=\angle AMB=90^{\circ}
. Тогда
AO_{2}^{2}+BO_{1}^{2}-AB^{2}=\frac{1}{4}(2AB^{2}+2AD^{2}-4R_{2}^{2})+\frac{1}{4}(2AB^{2}+2BC^{2}-4R_{1}^{2})-AB^{2}=
=\frac{1}{2}(BC^{2}+AD^{2})-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=2LO_{1}^{2}+2LO_{2}^{2}-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=
=2(LO_{1}^{2}+LO_{2}^{2})-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=2O_{1}O_{2}^{2}-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}=2a^{2}-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}.
Следовательно, выражение AO_{2}^{2}+BO_{1}^{2}-AB^{2}
зависит только от радиусов окружностей и расстояния между их центрами.