6082. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Найдите радиус этой окружности, если радиус описанной окружности данного четырёхугольника равен R
, а расстояние от её центра до точки пересечения диагоналей равно d
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{2R^{2}-d^{2}}
.
Указание. Проведите окружность через середины сторон четырёхугольника и докажите, что она пересекает сторону в точке, являющейся проекцией точки пересечения диагоналей на эту сторону.
Решение. Заметим, что указанные проекции — основания высот, опущенных из вершин прямых углов прямоугольных треугольников, поэтому эти точки лежат на сторонах исходного четырёхугольника, а не на их продолжениях.
Пусть E
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
данного четырёхугольника ABCD
, M
— проекция точки E
на сторону CD
. Докажем, что точка K
пересечения прямой ME
со стороной AB
есть середина стороны AB
.
Действительно,
\angle KEB=\angle DEM=90^{\circ}-\angle BDC=90^{\circ}-\angle BAC=\angle KBE.
Поэтому треугольник BKE
— равнобедренный, KE=KB
. Аналогично докажем, что KE=KA
. Следовательно, K
— середина AB
.
Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами прямоугольника (см. задачу 1204). Опишем окружность около этого прямоугольника. Тогда из точек пересечения этой окружности со сторонами данного четырёхугольника, отличных от середин сторон, диаметр проведённой окружности (диагональ прямоугольника) виден под прямым углом.
С другой стороны, по ранее доказанному, перпендикуляр, опущенный из середины стороны данного четырёхугольника на противоположную сторону, проходит через точку пересечения диагоналей. Следовательно, проекции точки E
на стороны данного четырёхугольника лежат на описанной окружности рассматриваемого прямоугольника.
Пусть O
— центр окружности данного радиуса R
, описанной около данного четырёхугольника ABCD
, L
, P
и Q
— середины сторон соответственно BC
, CD
и AD
, OE=d
. Тогда искомый радиус x
равен половине диагонали прямоугольника KLPQ
, т. е.
x=\frac{1}{2}\sqrt{KL^{2}+LP^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{AC^{2}}{4}+\frac{BD^{2}}{4}}=\frac{1}{4}\sqrt{AC^{2}+BD^{2}}.
Пусть X
и Y
— проекции точки O
на AC
и BD
соответственно. Тогда X
и Y
— середины отрезков AC
и BD
. Из прямоугольных треугольников AOX
, BOY
и OEX
находим, что
OX^{2}=OA^{2}-AX^{2}=R^{2}-\frac{AC^{2}}{4},~OY^{2}=OB^{2}-BY^{2}=R^{2}-\frac{BD^{2}}{4},
d^{2}=OE^{2}=OX^{2}+XE^{2}=OX^{2}+OY^{2}=R^{2}-\frac{AC^{2}}{4}+R^{2}-\frac{BD^{2}}{4}=
=2R^{2}-\frac{1}{4}(AC^{2}+BD^{2}),
откуда AC^{2}+BD^{2}=4(2R^{2}-d^{2})
. Следовательно,
x=\frac{1}{4}\sqrt{AC^{2}+BD^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{4(2R^{2}-d^{2})}=\frac{1}{2}\sqrt{2R^{2}-d^{2}}.