6083. Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, проходящие через соседние точки касания, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.
Решение. Пусть окружность касается сторон AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно.
Если \frac{BK}{KA}=\frac{BL}{LC}
, то KL\parallel AC
, а так как треугольник KBL
равнобедренный, то треугольник ABC
также равнобедренный, AB=BC
. По свойству описанного четырёхугольника AB+CD=BC+AD
, поэтому CD=AD
. Значит, треугольник ABD
также равнобедренный, а так как DN=DM
, то \frac{DN}{NA}=\frac{DM}{MC}
. Следовательно, MN\parallel AC\parallel KL
.
Пусть теперь \frac{BK}{KA}\ne\frac{BL}{LC}
. Для определённости будем считать, что \frac{BK}{KA}\lt\frac{BL}{LC}
. Тогда \frac{DN}{NA}\lt\frac{DM}{MC}
, поэтому прямые KL
и MN
пересекают продолжение диагонали AC
, в некоторых точках P
и P_{1}
соответственно, лежащих на продолжении AC
за точку C
. Докажем, что точки P
и P_{1}
совпадают.
Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой KP
в точке E
. Треугольник CLE
равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику BLK
, поэтому CE=CL
. Следовательно,
\frac{CP}{AP}=\frac{CE}{AK}=\frac{CL}{AK}.
Через точку C
проведём прямую, параллельную AD
. Пусть эта прямая пересекается с прямой NP_{1}
в точке E_{1}
. Аналогично предыдущему докажем, что
\frac{CP_{1}}{AP_{1}}=\frac{CE_{1}}{AN}=\frac{CM}{AN},
а так как CL=CM
и AK=AN
, то \frac{CP}{AP}=\frac{CP_{1}}{AP_{1}}
. Следовательно, точки P
и P_{1}
совпадают.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Равенство \frac{CP}{AP}=\frac{CP_{1}}{AP_{1}}
можно доказать также с помощью теоремы Менелая (см. задачу 1622).