6097. На окружности фиксированы точки P
и C
. Точки A
и B
перемещаются по окружности так, что угол ACB
остаётся постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P
относительно треугольников ABC
касаются некоторой окружности.
Решение. Пусть A_{1}
и B_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые BC
и AC
соответственно. Тогда A_{1}B_{1}
— прямая Симсона треугольника ABC
, соответствующая точке P
(см. задачу 83). Из точек A_{1}
и B_{1}
отрезок CP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности S
с диаметром CP
. Докажем, что прямые Симсона точки P
относительно треугольников ABC
касаются окружности, концентрической окружности S
.
Действительно, \sin\angle A_{1}CB_{1}=\sin\angle ACB
, а так как угол ACB
и длина отрезка CP
остаются постоянными и по теореме синусов A_{1}B_{1}=CP\sin\angle A_{1}CB_{1}
, то все хорды A_{1}B_{1}
окружности S
имеют одну и ту же длину. Следовательно, они касаются окружности с центром в середине отрезка CP
и радиусом, равным расстоянию от середины CP
до любой из таких хорд. Что и требовалось доказать.