6166. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение катетов треугольника равно \frac{3}{4}
.
Ответ. 4 или 4,5.
Решение. Заметим, что окружность, вписанная в четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, — это окружность вписанная в данный прямоугольный треугольник.
Пусть вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается катета AC
в точке P
, катета BC
— в точке S
, гипотенузы AB
— в точке R
, отрезка MN
— в точке Q
, а \frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}
. Пусть O
— центр этой окружности, r
— её радиус. Тогда OQMR
и OPCS
— квадраты, MQ=PC=r
.
Рассмотрим случай, когда перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник ANM
(рис. 1). Тогда, NQ=NP
, значит, NC=MN=6
, а прямоугольные треугольники NMB
и NCB
равны по гипотенузе и катету.
Положим BC=3x
, AC=4x
. Тогда
AB=5x,~AM=AB-BM=AB-BC=5x-3x=2x,
а так как прямоугольные треугольники ANM
и ABC
подобны, то \frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AM}
, или \frac{3x}{6}=\frac{4x}{2x}
, откуда находим, что x=4
. Следовательно (см. задачу 217),
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{4x+3x-5x}{2}=x=4.
Если же перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник BMN
(рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что
BM=AB-AM=AB-AC=5x-4x=x,~\frac{AC}{MN}=\frac{BC}{BM},~\frac{4x}{6}=\frac{3x}{x},
откуда x=4{,}5
. Следовательно, r=x=4{,}5
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 20, с. 173