6168. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, CH
— его высота, BD
— медиана. Прямые DH
и BC
пересекаются в точке E
. Окружность, проходящая через точки D
и H
, касается прямой BC
в точке M
. Найдите CM
, если известно, что DE=9
, DH=7
и точка E
лежит на луче BC
.
Ответ. 12\pm4\sqrt{2}
.
Решение. Отрезок HD
— медиана прямоугольного треугольника AHC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CD=HD=7
(см. задачу 1109).
Из прямоугольного треугольника DCE
находим, что
CE=\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{9^{2}-7^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
По теореме о касательной и секущей
EM^{2}=ED\cdot EH=ED(ED+DH)=9(9+7)=9\cdot16,
значит, EM=\sqrt{9\cdot16}=12
.
Если точка C
лежит между точками E
и M
(рис. 1), то
CM=EM-EC=12-4\sqrt{2}.
Если точка E
лежит между C
и M
(рис. 2), то
CM=EM+EC=12+4\sqrt{2}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 31, с. 183