6169. Дан прямоугольный треугольник KLM
с прямым углом при вершине L
, LR
— его высота, MQ
— медиана. Прямые QR
и LM
пересекаются в точке P
, лежащей на луче LM
. Окружность, проходящая через точки Q
и R
, касается прямой LM
в точке N
. Найдите LN
, если известно, что QR=9
и PQ=16
.
Ответ. \sqrt{7}
или 9\sqrt{7}
.
Решение. Отрезок QR
— медиана прямоугольного треугольника KRL
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому LQ=QR=9
(см. задачу 1109). Из прямоугольного треугольника PQL
находим, что
LP=\sqrt{PQ^{2}-LQ^{2}}=\sqrt{16^{2}-9^{2}}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}.
По теореме о касательной и секущей
PN^{2}=PQ\cdot PR=PQ(PQ+QR)=16(16-9)=16\cdot7,
значит, PN=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}
.
Если точка N
лежит между точками P
и L
(рис. 1), то
LN=PL-PN=5\sqrt{7}-4\sqrt{7}=\sqrt{7}.
Если точка P
лежит между L
и N
(рис. 2), то
LN=PN+PL=4\sqrt{7}+5\sqrt{7}=9\sqrt{7}.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2014. — № 32, с. 184