6178. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 63, точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 20:9
, считая от основания. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Ответ. 140
или 63
.
Решение. Первый способ. Пусть AD
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на его основание BC
, O
— центр вписанной окружности, P
— точка её касания с боковой стороной AB
. Положим AP=9x
, BP=20x
. Тогда AB=AP+BP=29x
, BD=BP=20x
.
По теореме Пифагора AB^{2}-BD^{2}=AD^{2}
, или
(29x)^{2}-(20x)^{2}=63^{2},~9\cdot49x^{2}=7^{2}\cdot3^{2},
откуда x=3
. Значит,
AP=9x=27,~BD=20x=60,~AB=29x=87.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что \tg\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{60}{63}=\frac{20}{21}
.
Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом r_{1}
касается продолжений боковых сторон AB
и AC
в точках F
и G
соответственно (рис. 1), а также основания BC
. Тогда D
— точка касания, поэтому
BF=BD=60,~AF=AB+BF=AB+BD=87+60=147.
Следовательно,
r_{1}=O_{1}F=AF\tg\alpha=147\cdot\frac{20}{21}=140.
Пусть теперь окружность с центром O_{2}
радиуса r_{2}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке Q
и продолжения боковой стороны AC
в точке K
(рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{2}
и AD
— биссектрисы смежных углов BAK
и DAB
, значит, \angle DAO_{2}=90^{\circ}
. Тогда ADQO_{2}
— прямоугольник. Следовательно, r_{2}=O_{2}Q=AD=63
.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC
и продолжений основания BC
и боковой стороны AB
, также равен 45.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot120\cdot63=3780,
r_{1}=\frac{S}{p-BC}=\frac{3780}{147-120}=\frac{3870}{27}=140,
r_{2}=\frac{3780}{147-87}=\frac{3780}{60}=63
(см. задачу 392).