6181. Расстояния от точки M
, расположенной внутри угла, равного 60^{\circ}
, до сторон угла равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот угол и проходящей через точку M
.
Ответ. 2\pm\frac{2}{3}\sqrt{2}
.
Решение. Для любой точки, лежащей внутри угла, существуют две окружности, проходящие через эту точку и касающиеся сторон угла (см. задачу 2503).
Пусть A
— вершина данного угла, B
и C
— проекции точки M
на стороны угла, BM=1
, CM=2
, E
— точка пересечения прямых AB
и CM
. Тогда \angle AEC=30^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников BME
и CAE
находим, что
ME=2BM=2,~AC=CE\tg30^{\circ}=(CM+ME)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=(2+2)\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Пусть O
— центр окружности радиуса R
, вписанной в угол BAC
и проходящей через точку M
, P
— точка касания окружности с лучом AC
. Луч AO
— биссектриса угла BAC
, поэтому \angle PAO=30^{\circ}
. Тогда AP=OP\ctg30^{\circ}=R\sqrt{3}
.
Рассмотрим прямоугольную трапецию PCMO
, в которой
OM=OP=R,~CM=2,~CP=|AC-AP|=\left|\frac{4}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right|.
Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на CM
. Тогда
MQ=|CM-CQ|=|CM-OP|=|2-R|,~OQ=CP=\left|\frac{4}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right|.
По теореме Пифагора MQ^{2}+OQ^{2}=OM^{2}
, или
(2-R)^{2}+\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-R\sqrt{3}\right)^{2}=R^{2}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 9R^{2}-36R+28=0
, из которого находим, что R=2\pm\frac{2}{3}\sqrt{2}
. Условию задачи удовлетворяют обе окружности.
Примечание. Эта задача — частный случай задачи, которая в 1967 году предлагалась на письменном вступительном экзамене на физический факультет МГУ. Вот её условие.
Внутри острого угла \alpha
, взята точка M
, отстоящая от сторон угла на расстояниях a
и 2a
. Найдите радиус окружности, проходящей через точку M
и касающейся сторон угла.
Ответ: \frac{3\pm2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}
.