6211. В треугольнике ABC
проведены биссектриса AK
, медиана BL
и высота CM
. Треугольник KLM
— равносторонний. Докажите, что треугольник ABC
— равносторонний.
Решение. Медиана ML
прямоугольного треугольника AMC
равна половине гипотенузы AC
(см. задачу 1109), т. е.
ML=AL=LC.
Поскольку треугольник KLM
— равносторонний, KL=LM
. Значит, медиана KL
треугольника AKC
равна половине стороны AC
. Поэтому треугольник AKC
— прямоугольный, AK\perp KC
. Тогда биссектриса AK
треугольника ABC
является его высотой. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC
.
Высота AK
равнобедренного треугольника ABC
является его медианой, значит, K
— середина BC
. Поэтому MK
— медиана прямоугольного треугольника BMC
. Тогда
BC=2MK=2KL=AC.
Следовательно, AB=BC=AC
, что и требовалось доказать.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2001, LXIV, 8 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2001, № 4, с. 22, М1783
Источник: Задачник «Кванта». — М1738
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 49