6213. Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, \angle BAC=\alpha
, H
— ортоцентр треугольника. Докажите, что AH=2R|{\cos\alpha}|
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, M
— середина стороны BC
. Тогда AH=2OM
(см. задачу 1257).
Если треугольник ABC
остроугольный, то точка O
лежит внутри него, поэтому \angle BOC=2\angle BAC=2\alpha
, а так как треугольник BOC
равнобедренный, то его медиана OM
является высотой и биссектрисой. Значит, \angle BOM=\frac{1}{2}\angle BOC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BOM
находим, что
OM=OB\cos\angle BOM=R\cos\alpha.
Следовательно, AH=2OM=2R\cos\alpha
.
Если \angle BAC\gt90^{\circ}
, точки A
и O
лежат по разные стороны от прямой BC
. В этом случае
\angle BOC=360^{\circ}-2\alpha,~\angle BOM=180^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
OM=OB\cos\angle BOM=R\cos(180^{\circ}-\alpha)=-R\cos\alpha=|{R\cos\alpha}|,~AH=2R|{\cos\alpha}|.
Если \angle BAC=90^{\circ}
, утверждение очевидно, так как \cos90^{\circ}=0
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 438(3), с. 68
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.9, с. 42