6216. Пусть
A
и
B
— точки, лежащие на окружности. Они разбивают окружность на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах
AB
.
Ответ. Искомое ГМТ состоит из точек, лежащих внутри ровно одного из двух кругов с диаметрами
OA
и
OB
(см.рис. 1).
Решение. Воспользуемся следующими очевидными утверждениями:
1) отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде;
2) концы хорды лежат на разных дугах
AB
тогда и только тогда, когда хорда пересекает отрезок
AB
(во внутренней точке).
Тогда задачу можно переформулировать так: даны точки
A
,
B
и
O
, причём
OA=OB
; требуется найти геометрическое место таких точек
M
, что прямая, проходящая через точку
M
перпендикулярно
OM
, пересекает отрезок
AB
.
Докажем следующее утверждение: перпендикуляр
l
к отрезку
MO
пересекает отрезок
AB
тогда и только тогда, когда ровно один из углов
OMA
и
OMB
— тупой.
Действительно, перпендикуляр
l
пересекает отрезок
AB
тогда и только тогда, когда точки
A
и
B
лежат в разных плоскостях относительно этого перпендикуляра. Пусть, например, точка
B
лежит в той же полуплоскости, что и точка
O
(рис. 2), а точка
A
— в другой полуплоскости.
\angle AMO\gt90^{\circ}
, а
\angle BMO\lt90^{\circ}
. Если
A
и
O
лежат в одной полуплоскости относительно
l
, а
B
— в другой, то угол
AMO
— острый, а
BMO
— тупой. Если все точки лежат в одной полуплоскости, то оба угла острые. Если точки
A
и
B
лежат в одной полуплоскости, а точка
O
— в другой, то оба угла — тупые. Таким образом, разобраны все возможные случаи, так что утверждение доказано.
Геометрическое место точек
M
, из которых отрезок
OA
виден под тупым углом, есть внутренность круга с диаметром
OA
(см. задачу 1772), а ГМТ точек
M
, из которых отрезок
OB
виден под тупым углом, есть внутренность круга с диаметром
OB
. Значит, искомое ГМТ состоит из точек, лежащих внутри ровно одного из двух кругов с диаметрами
OA
и
OB
. Следовательно, это ГМТ представляет собой внутренность этих кругов, за исключением их общей части (рис. 1).
<