6247. Сторона BC
треугольника ABC
касается вписанной в него окружности в точке D
. Докажите, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины отрезков BC
и AD
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в точке A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
во вневписанную.
Решение. Пусть P
— точка касания со стороной BC
вневписанной окружности S
треугольника ABC
. Проведём касательную l
к вписанной окружности треугольника ABC
, параллельную стороне BC
. Обозначим через K
точку касания.
При гомотетии с центром в точке A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
в окружность S
, прямая l
переходит в параллельную ей прямую BC
, точка K
— в точку P
касания окружности S
с отрезком BC
.
Известно, что BD=CP
(см. задачу 4805). Поэтому середина M
стороны BC
является серединой отрезка DP
. Тогда, если N
— середина отрезка AD
, то MN
— средняя линия треугольника ADP
.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда OK\perp l
и OD\perp BC
, а так как l\parallel BC
, то точки K
, O
и D
лежат на одной прямой. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ADP
, а DO=OK
, то точка O
лежит на прямой MN
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесоюзная олимпиада по математике. — 1968, II, 10 класс
Источник: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — № 112, с. 38
Источник: Зарубежные математические олимпиады. — 1977, Англия
Источник: Конягин С. В. и др. Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергеева. — М.: Наука, 1987. — с. 35, № 10.15, Англия, 1977 г.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 19.12, с. 86
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 19.12, с. 390
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 124, с. 149