6247. Сторона BC
треугольника ABC
касается вписанной в него окружности в точке D
. Докажите, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины отрезков BC
и AD
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в точке A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
во вневписанную.
Решение. Пусть P
— точка касания со стороной BC
вневписанной окружности S
треугольника ABC
. Проведём касательную l
к вписанной окружности треугольника ABC
, параллельную стороне BC
. Обозначим через K
точку касания.
При гомотетии с центром в точке A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
в окружность S
, прямая l
переходит в параллельную ей прямую BC
, точка K
— в точку P
касания окружности S
с отрезком BC
.
Известно, что BD=CP
(см. задачу 4805). Поэтому середина M
стороны BC
является серединой отрезка DP
. Тогда, если N
— середина отрезка AD
, то MN
— средняя линия треугольника ADP
.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда OK\perp l
и OD\perp BC
, а так как l\parallel BC
, то точки K
, O
и D
лежат на одной прямой. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ADP
, а DO=OK
, то точка O
лежит на прямой MN
. Что и требовалось доказать.