6265. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью одной линейки разделите этот отрезок на три равные части.
Решение. Первый способ. Будем считать известным, как с помощью одной линейки через данную точку провести прямую, параллельную двум данным прямым (см. задачу 1540).
Пусть l_{1}
и l_{2}
— данные параллельные прямые (рис. 1), отрезок AB
лежит на прямой l_{1}
. Отметим точку M
в той полуплоскости относительно прямой l_{2}
, которая не содержит точек A
и B
. Тогда отрезки MA
и MB
пересекают прямую l_{2}
в некоторых точках C
и D
соответственно. Через точку N
пересечения отрезков AD
и BC
проведём прямую MN
. Эта прямая пересекает l_{1}
и l_{2}
соответственно в точках F
и E
— серединах оснований AB
и CD
трапеции ACDB
.
Через точку P
пересечения прямых AE
и BC
проведём прямую, параллельную прямым l_{1}
и l_{2}
. Пусть проведённая прямая пересекает отрезки AC
, AD
и BD
в точках G
, Q
и L
соответственно. Поскольку AE
— медиана треугольника ACD
и GQ\parallel CD
, точка P
— середина GQ
. В то же время, поскольку AD
и BC
— диагонали трапеции ACBD
, отрезки GP
и QL
равны. Значит, GP=PQ=QL
.
Проведём прямые MP
и MQ
. Пусть X
и Y
— точки их пересечения с прямой l_{1}
. Тогда AX=XY=YB
.
Второй способ. Покажем, как разделить такой отрезок на k
равных частей. Будем считать известным, как с помощью одной линейки разделить пополам отрезок, лежащий на одной из двух данных параллельных прямых. Тогда для каждого натурального n
можно разделить такой отрезок на 2^{n}
равных частей.
Пусть l_{1}
и l_{2}
— данные параллельные прямые (рис. 2), отрезок AB
лежит на прямой l_{1}
. Разделим произвольный отрезок CT
, лежащий на прямой l_{2}
на 2^{n}
равных частей, где 2^{n}\gt k
. Пусть D
— правый конец k
-го из получившихся отрезков, считая от точки C
. Тогда отрезок CD
прямой l_{2}
разделён на k
равных отрезков.
Если прямые AC
и BD
пересекаются в точке H
, то прямые, проходящие через эту точку и концы полученных отрезков, делят отрезок AB
на k
равных частей.
Если окажется, что AC\parallel BD
, то через полученные точки деления, проведём прямые, параллельные AC
и BD
.