6277. В неравнобедренном треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
, кроме того, отмечены середины K
и L
сторон AB
и BC
соответственно. Точка P
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на прямую CC_{1}
, а точка Q
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на прямую AA_{1}
. Докажите, что прямые KP
и LQ
пересекаются на стороне AC
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AC
. Тогда PM
— медиана прямоугольного треугольника APC
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому (см. задачу 1109)
\angle MPC=\angle MCP=\angle PCA.
Значит, MP\parallel BC
. С другой стороны, MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MK\parallel BC
. Следовательно, прямая MP
проходит через точку K
. Аналогично, прямая MQ
проходит через точку L
. Таким образом, прямые KP
и LQ
пересекаются в точке M
, лежащей на стороне AC
.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1999 г., второй тур, 9 класс