6288. Отрезки AM
и BH
— соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC
. Известно, что AH=1
и 2\angle MAC=\angle MCA
. Найдите сторону BC
.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим \angle MAC=\alpha
. Тогда \angle MCA=2\alpha
.
Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника BHC
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому HM=MC
(см. задачу 1109). Треугольник CMH
— равнобедренный, значит,
\angle CHM=\angle MCH=2\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AHM=\angle CHM-\angle MAC=2\alpha-\alpha=\alpha.
Поэтому треугольник AHM
— также равнобедренный, HM=AH=1
. Следовательно, BC=2HM=2
.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., первый тур, 11 класс
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2011-2012, первый этап, задача 4, 11 класс