6290. На гипотенузе AC
прямоугольного треугольника ABC
выбрана точка D
, для которой BC=CD
. На катете BC
взята точка E
, для которой DE=CE
. Докажите, что AD+BE=DE
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина гипотенузы AC
. Тогда (см. задачу 1109)
BM=AM=CM,~\angle EDC=\angle DCE=\angle CBM,~\angle MBD=\angle BDE.
Поэтому треугольники MDB
и EBD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, DM=BE
и DE=BM
. Следовательно,
AD+BE=AD+DM=AM=BM=DE.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. На продолжении катета BC
за вершину B
отложим отрезок BF
, равный AD
. Так как по условию BC=CD
, то AC=CF
и \angle CAF=\angle CFA
. Следовательно, треугольники AFD
и FAB
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда \angle ADF=\angle FBA=90^{\circ}
.
Углы при основании DC
при основании равнобедренного треугольника CED
равны, поэтому
\angle EFD=90^{\circ}-\angle ECD=90^{\circ}-\angle EDC=\angle EDF,
откуда
AD+BE=FB+BE=FE=DE.
Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2000 г., второй тур, 8 класс