6299. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. На отрезке A_{1}C_{1}
выбрали такие точки A_{2}
и C_{2}
, что отрезок B_{1}A_{2}
делится высотой CC_{1}
пополам и пересекает высоту AA_{1}
в точке K
, а отрезок B_{1}C_{2}
делится высотой AA_{1}
пополам и пересекает высоту CC_{1}
в точке L
. Докажите, что KL\parallel AC
.
Решение. Пусть K_{1}
и L_{1}
— середины отрезков B_{1}C_{2}
и B_{1}A_{2}
. По условию задачи точка K_{1}
лежит на отрезке AA_{1}
, а точка L_{1}
— на отрезке CC_{1}
.
Известно, что высоты остроугольного треугольника лежат на биссектрисах его ортотреугольника (см. задачу 533), поэтому медиана A_{1}K_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{2}
является его биссектрисой. Тогда треугольник A_{1}B_{1}C_{2}
— равнобедренный, и A_{1}K_{1}
— его высота, а значит, KK_{1}
— высота треугольника KB_{1}L
. Аналогично докажем, что LL_{1}
— также высота треугольника KB_{1}L
.
Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то третья высота треугольника KB_{1}L
лежит на прямой BB_{1}
. Значит, KL\perp BB_{1}
и AC\perp BB_{1}
. Следовательно, KL\parallel AC
.