6303. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник, M
и N
— середины его сторон AD
и BC
соответственно. Точки A
, B
, M
и N
лежат на одной окружности, прямая AB
касается описанной окружности треугольника BMC
. Докажите, что она также касается описанной окружности треугольника AND
.
Решение. Обозначим \angle MAB=\alpha
, \angle ABM=\beta
. Поскольку четырёхугольник ABNM
— вписанный,
\angle MNC=180^{\circ}-\angle MNB=\angle MAB=\alpha.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MCB=\angle ABM=\beta.
Поэтому треугольники ABM
и NCM
подобны по двум углам. Значит,
\frac{MD}{AB}=\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{CN}=\frac{MN}{BN}.
Кроме того,
\angle DMN=180^{\circ}-\angle AMN=\angle ABN.
Поэтому треугольники DMN
и ABN
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle MDN=\angle NAB
. Тогда из теоремы, обратной теореме об угле между касательной хордой (см. задачу 144), следует, что прямая AB
касается описанной окружности треугольника AND
.