6341. На стороне AC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
, а на отрезке BE
— точка F
. Оказалось, что
AC=BD,~2\angle ACF=\angle ADB,~2\angle CAF=\angle CDB.
Докажите, что AD=CE
.
Решение. Обозначим \angle ACF=\alpha
, \angle CAF=\beta
. Тогда \angle ADB=2\alpha
, \angle CDB=2\beta
, а так как 2\alpha+2\beta=180^{\circ}
, то \alpha+\beta=90^{\circ}
. Значит, \angle AFC=180^{\circ}-\alpha-\beta=90^{\circ}
.
Проведём медиану FK
прямоугольного треугольника AFC
. Тогда FK=AK=KC
и \angle AKF=2\alpha=\angle ADB
(см. задачу 1109). Поэтому FK\parallel BD
и FK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD
, значит, KF
— средняя линия треугольника BDE
. Следовательно,
AD=AK-KD=CK-KE=CE.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2008 г., второй тур, 8 класс