6367. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Ответ. \frac{45}{4}
или 18
.
Решение. Первый способ. Пусть AD
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на его основание BC
, O
— центр вписанной окружности, P
— точка её касания с боковой стороной AB
. Тогда AO=AD-OD=18-5=13
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что \sin\alpha=\frac{OP}{OA}=\frac{5}{13}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{12}{13},~\tg\alpha=\frac{5}{12},~AP=AO\cos\alpha=13\cdot\frac{12}{13}=12,~BP=BD=AD\tg\alpha=18\cdot\frac{5}{12}=\frac{15}{2}.
Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом r_{1}
касается продолжений боковых сторон AB
и AC
в точках F
и G
соответственно (рис. 1), а также основания BC
. Тогда D
— точка касания, поэтому BF=BD=\frac{15}{2}
, AF=AP+PB+BF=12+\frac{15}{2}+\frac{15}{2}=27
. Следовательно,
r_{1}=O_{1}F=AF\tg\alpha=27\cdot\frac{5}{12}=\frac{45}{4}.
Пусть теперь окружность с центром O_{2}
радиуса r_{2}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке Q
и продолжения боковой стороны AC
в точке K
(рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{2}
и AD
— биссектрисы смежных углов BAK
и DAB
, значит, \angle DAO_{2}=90^{\circ}
. Тогда ADQO_{2}
— прямоугольник. Следовательно, r_{2}=O_{2}Q=AD=18
.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC
и продолжений основания BC
и боковой стороны AB
, также равен 18.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot15\cdot18=135,
r_{1}=\frac{S}{p-BC}=\frac{135}{27-15}=\frac{135}{12}=\frac{45}{4},
r_{2}=\frac{S}{p-AB}=\frac{135}{27-\frac{39}{2}}=\frac{135\cdot2}{15}=18
(см. задачу 392).