6369. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 25, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 8. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.
Ответ. \frac{200}{9}
или 25
.
Решение. Первый способ. Пусть AD
— высота равнобедренного треугольника ABC
, опущенная на его основание BC
, O
— центр вписанной окружности, P
— точка её касания с боковой стороной AB
. Тогда AO=AD-OD=17-8=15
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AOP
находим, что \sin\alpha=\frac{OP}{OA}=\frac{8}{17}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{15}{17},~\tg\alpha=\frac{8}{15},~AP=AO\cos\alpha=17\cdot\frac{15}{17}=15,~BP=BD=AD\tg\alpha=25\cdot\frac{8}{15}=\frac{40}{3}.
Пусть окружность с центром O_{1}
и радиусом r_{1}
касается продолжений боковых сторон AB
и AC
в точках F
и G
соответственно (рис. 1), а также основания BC
. Тогда D
— точка касания, поэтому
BF=BD=\frac{40}{3},~AF=AP+PB+BF=15+\frac{40}{3}+\frac{40}{3}=\frac{125}{3}.
Следовательно,
r_{1}=O_{1}F=AF\tg\alpha=\frac{125}{3}\cdot\frac{8}{15}=\frac{200}{9}.
Пусть теперь окружность с центром O_{2}
радиуса r_{2}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке Q
и продолжения боковой стороны AC
в точке K
(рис. 2). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{2}
и AD
— биссектрисы смежных углов BAK
и DAB
, значит, \angle DAO_{2}=90^{\circ}
. Тогда ADQO_{2}
— прямоугольник. Следовательно, r_{2}=O_{2}Q=AD=25
.
Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC
и продолжений основания BC
и боковой стороны AB
, также равен 25.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot\frac{80}{3}\cdot25=\frac{1000}{3},
r_{1}=\frac{S}{p-BC}=\frac{\frac{1000}{3}}{\frac{125}{3}-\frac{80}{3}}=\frac{\frac{1000}{9}}{15}=\frac{200}{9},
r_{2}=\frac{S}{p-AB}=\frac{\frac{1000}{3}}{\frac{125}{3}-\frac{85}{3}}=\frac{\frac{1000}{3}}{\frac{40}{3}}=25
(см. задачу 392).
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — Задача C4, 2011