6372. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно \frac{8}{15}
.
Ответ. 6,25 или 8.
Решение. Заметим, что окружность, вписанная в четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, — это окружность вписанная в данный прямоугольный треугольник.
Пусть вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается катета AC
в точке P
, катета BC
— в точке S
, гипотенузы AB
— в точке R
, а \frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}
. Пусть O
— центр этой окружности, r
— её радиус. Тогда OQMR
и OPCS
— квадраты, MQ=PC=r
.
Рассмотрим случай, когда перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник ANM
(рис. 1). Тогда, NQ=NP
, значит, NC=MN=10
, а прямоугольные треугольники NMB
и NCB
равны по гипотенузе и катету.
Положим BC=8x
, AC=15x
. Тогда
AB=17x,~AM=AB-BM=AB-BC=17x-8x=9x,
а так как прямоугольные треугольники ANM
и ABC
подобны, то \frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AM}
, или \frac{8x}{10}=\frac{15x}{9x}
, откуда находим, что x=\frac{25}{12}
. Следовательно (см. задачу 217),
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{15x+8x-17x}{2}=3x=\frac{25}{4}.
Если же перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник BMN
(рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что
BM=AB-AM=AB-AC=17x-15x=2x,~\frac{AC}{MN}=\frac{BC}{BM},~\frac{15x}{10}=\frac{8x}{2x},
откуда x=\frac{8}{3}
. Следовательно, r=3x=8
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011