6374. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а отношение катетов треугольника равно \frac{12}{5}
.
Ответ. 10 или 7,2.
Решение. Заметим, что окружность, вписанная в четырёхугольник, о котором говорится в условии задачи, — это окружность вписанная в данный прямоугольный треугольник.
Пусть вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC
касается катета AC
в точке P
, катета BC
— в точке S
, гипотенузы AB
— в точке R
, а \frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}
. Пусть O
— центр этой окружности, r
— её радиус. Тогда OQMR
и OPCS
— квадраты, MQ=PC=r
.
Рассмотрим случай, когда перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник ANM
(рис. 1). Тогда, NQ=NP
, значит, NC=MN=12
, а прямоугольные треугольники NMB
и NCB
равны по гипотенузе и катету.
Положим BC=12x
, AC=5x
. Тогда
AB=13x,~AM=AB-BM=AB-BC=13x-12x=x,
а так как прямоугольные треугольники ANM
и ABC
подобны, то \frac{BC}{MN}=\frac{AC}{AM}
, или \frac{12x}{12}=\frac{5x}{x}
, откуда находим, что x=5
. Следовательно (см. задачу 217),
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{5x+12x-13x}{2}=2x=10.
Если же перпендикуляр к гипотенузе отсекает от треугольника ABC
треугольник BMN
(рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что
BM=AB-AM=AB-AC=13x-5x=8x,~\frac{AC}{MN}=\frac{BC}{BM},~\frac{5x}{12}=\frac{12x}{8},
откуда x=3{,}6
. Следовательно, r=2x=7{,}2
.
Источник: ЕГЭ. — Задача C4, 2011