6396. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции с основаниями a
и b
, описанной около окружности, равна ab
.
Решение. Первый способ. Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция ABCD
с основаниями BC=a
, AD=b
и a\lt b
; O
— центр её вписанной окружности радиуса r
, M
и N
— точки касания с основаниями BC
и AD
соответственно, K
— точка касания с большей боковой стороной CD
.
Тогда
CK=CM=a-r,~DK=DN=b-r,~OK=r,
а так как \angle COD=90^{\circ}
(см. задачу 313), то OK
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, OK^{2}=CK\cdot DK
, или (a-r)(b-r)=r^{2}
. Отсюда находим, что r=\frac{ab}{a+b}
. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, следовательно,
S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot2r=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{2ab}{a+b}=ab.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть S
— площадь прямоугольной трапеции ABCD
с основаниями BC=a
, AD=b
и боковыми сторонами AB=c
, CD=d
(c\lt d
). Опустим перпендикуляр CH
на AD
. Тогда DH=|b-a|
. По теореме Пифагора CD^{2}-DH^{2}=CH^{2}
, или d^{2}-(b-a)^{2}=c^{2}
, а так как трапеция описанная, то a+b=c+d
, поэтому d=a+b-c
. Следовательно,
d^{2}-(b-a)^{2}=c^{2}~\Rightarrow~(a+b-c)^{2}-(b-a)^{2}=c^{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~(a+b-c-b+a)(a+b-c+b-a)^{2}=c^{2}~\Rightarrow~(2a-c)(2b-c)=c^{2}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~4ab-2(a+b)c+c^{2}=c^{2}~\Rightarrow~ab=\frac{a+b}{2}\cdot c=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=S.
Что и требовалось доказать.