6407. Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (см. задачу 1204).
Решение. Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами некоторого параллелограмма (см. задачу 1204).
Четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан указанных треугольников гомотетичен этому параллелограмму относительно точки пересечения диагоналей исходного четырёхугольника (с коэффициентом \frac{2}{3}
).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 19.1, с. 85
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 19.1, с. 389