6415. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что радиус его описанной окружности равен R
, а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно d
.
Ответ. \arccos\frac{R\pm d}{2R}
, \arccos\frac{R\pm d}{2R}
, 180^{\circ}-2\arccos\frac{R\pm d}{2R}
.
Указание. См. задачу 1120 или 788.
Решение. Обозначим через \alpha
угол при основании BC
равнобедренного треугольника ABC
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
, I
и O
— центры его вписанной и описанной окружностей соответственно. Поскольку треугольник равнобедренный, точки I
и O
лежат на прямой AH
, OI=d
.
Продолжим высоту AH
до пересечения с описанной окружностью в точке D
. Тогда треугольник ABD
прямоугольный с прямым углом при вершине B
, BH
— его высота, а BI
— биссектриса угла ABH
. Значит, BD=DI
(см. задачу 1120 или 788).
Если точка I
лежит на отрезке OD
, то BD=DI=DO-OI=R-d
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\cos\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{R-d}{2R}.
Следовательно,
\angle ABC=\angle ACB=\alpha=\arccos\frac{R-d}{2R}.
Если точка I
лежит вне отрезка OD
, то аналогично находим, что
\angle ABC=\angle ACB=\arccos\frac{R+d}{2R}.
Если точки I
и O
совпадают, то треугольник ABC
— равносторонний.