6428. Докажите, что любом треугольнике ABC
середина высоты CH
, центр вписанной окружности и точка касания вневписанной окружности со стороной AB
лежат на одной прямой.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром C
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность.
Решение. Пусть E
— середина высоты CH
, I
— центр вписанной окружности, D
— точка её касания со стороной AB
, DM
— диаметр этой окружности, K
— точка касания со стороной AB
вневписанной окружности треугольника ABC
.
Рассмотрим гомотетию с центром в точке C
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AB
. Касательная к вписанной окружности, проведённая через точку M
, переходит в прямую AB
, поэтому точка M
переходит в K
. Значит, точки C
, M
и K
лежат на одной прямой.
В треугольнике CHK
проведена медиана KE
. Она делит пополам любой отрезок с концами на прямых KC
и KH
, параллельный CH
(см. задачу 2607). Следовательно, прямая KE
проходит через середину диаметра DM
, т. е. точку I
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.