6437. На сторонах
AB
и
BC
неравнобедренного треугольника
ABC
выбраны точки
C_{0}
и
A_{0}
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника
A_{0}BC_{0}
проходит через центр вписанной окружности треугольника
ABC
тогда и только тогда, когда
AC_{0}+CA_{0}=AC
.
Решение. Пусть окружность с центром
I
, вписанная в треугольника
ABC
, касается его сторон
AB
,
BC
и
AC
в точках
K
,
L
и
M
соответственно.
Необходимость. Пусть окружность, описанная около треугольника
BA_{0}C_{0}
, проходит через центр
I
вписанной окружности треугольника
ABC
.
Если точка
A_{0}
совпадает с
L
, а точка
C_{0}
— с
K
, то
AC_{0}+CA_{0}=AK+CL=AM+CM=AC.

Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точка
C_{0}
лежит между
A
и
K
. Тогда
C_{0}
лежит вне окружности с диаметром
BI
, значит, угол
BC_{0}I
острый, а так как четырёхугольник
BA_{0}IB_{0}
вписанный, то угол
BA_{0}I
тупой. Значит, точка
A_{0}
лежит внутри окружности с диаметром
BI
. Следовательно, точка
A_{0}
лежит между
B
и
L
.
Прямоугольные треугольники
IKC_{0}
и
ILA_{0}
равны по гипотенузе и катету (
IC_{0}=IA_{0}
и
IK=IL
, поскольку
BI
— биссектриса вписанного угла
A_{0}BC_{0}
), поэтому
C_{0}K=A_{0}L
(см. задачу 805). Значит,
AC_{0}+CA_{0}=AK-C_{0}K+CL+A_{0}L=AK+CL=AM+CM=AC.

Аналогично для остальных случаев.
Достаточность. Пусть
AC_{0}+CA_{0}=AC
. Если точка
A_{0}
совпадает с
L
, а точка
C_{0}
— с
K
, то утверждение очевидно. Если точка
C_{0}
отлична от
K
и лежит между
A
и
K
, то
AC_{0}\lt AK=AM=AC-CM=AC-CL=AC_{0}+CA_{0}-CL,

поэтому
CA_{0}\gt CL
. Следовательно, точка
A_{0}
лежит между
B
и
L
. Тогда
C_{0}K=AK-AC_{0},~A_{0}L=CA_{0}-CL,~

A_{0}L-C_{0}K=CA_{0}-CL-AK+AC_{0}=

=(CA_{0}+AC_{0})-(CL+AK)=AC-AC=0,

поэтому
C_{0}K=A_{0}L
, и прямоугольные треугольники
IKC_{0}
и
ILA_{0}
равны по двум катетам. Значит,
\angle IC_{0}B+\angle IA_{0}B=\angle IC_{0}B+(180^{\circ}-\angle IA_{0}L)=

=\angle IC_{0}B+(180^{\circ}-\angle IC_{0}B)=180^{\circ}.

Следовательно, четырёхугольник
BA_{0}IC_{0}
вписанный, т. е. точка
I
лежит на окружности, описанной около треугольника
A_{0}BC_{0}
.
Примечание. 1. Утверждение остаётся справедливым и для случаев, когда точки
A_{0}
и
C_{0}
расположены на прямых (а не только на отрезках)
AB
и
BC
. Тогда, если
C_{0}
не лежит на луче
AB
и (или)
A_{0}
не лежит на луче
CB
, то длины отрезков
AC_{0}
и (или)
CA_{0}
будем считать отрицательными.
2. См. статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.