6437. На сторонах AB
и BC
неравнобедренного треугольника ABC
выбраны точки C_{0}
и A_{0}
соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника A_{0}BC_{0}
проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC
тогда и только тогда, когда AC_{0}+CA_{0}=AC
.
Решение. Пусть окружность с центром I
, вписанная в треугольника ABC
, касается его сторон AB
, BC
и AC
в точках K
, L
и M
соответственно.
Необходимость. Пусть окружность, описанная около треугольника BA_{0}C_{0}
, проходит через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
.
Если точка A_{0}
совпадает с L
, а точка C_{0}
— с K
, то
AC_{0}+CA_{0}=AK+CL=AM+CM=AC.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точка C_{0}
лежит между A
и K
. Тогда C_{0}
лежит вне окружности с диаметром BI
, значит, угол BC_{0}I
острый, а так как четырёхугольник BA_{0}IB_{0}
вписанный, то угол BA_{0}I
тупой. Значит, точка A_{0}
лежит внутри окружности с диаметром BI
. Следовательно, точка A_{0}
лежит между B
и L
.
Прямоугольные треугольники IKC_{0}
и ILA_{0}
равны по гипотенузе и катету (IC_{0}=IA_{0}
и IK=IL
, поскольку BI
— биссектриса вписанного угла A_{0}BC_{0}
), поэтому C_{0}K=A_{0}L
(см. задачу 805). Значит,
AC_{0}+CA_{0}=AK-C_{0}K+CL+A_{0}L=AK+CL=AM+CM=AC.
Аналогично для остальных случаев.
Достаточность. Пусть AC_{0}+CA_{0}=AC
. Если точка A_{0}
совпадает с L
, а точка C_{0}
— с K
, то утверждение очевидно. Если точка C_{0}
отлична от K
и лежит между A
и K
, то
AC_{0}\lt AK=AM=AC-CM=AC-CL=AC_{0}+CA_{0}-CL,
поэтому CA_{0}\gt CL
. Следовательно, точка A_{0}
лежит между B
и L
. Тогда
C_{0}K=AK-AC_{0},~A_{0}L=CA_{0}-CL,
A_{0}L-C_{0}K=CA_{0}-CL-AK+AC_{0}=
=(CA_{0}+AC_{0})-(CL+AK)=AC-AC=0,
поэтому C_{0}K=A_{0}L
, и прямоугольные треугольники IKC_{0}
и ILA_{0}
равны по двум катетам. Значит,
\angle IC_{0}B+\angle IA_{0}B=\angle IC_{0}B+(180^{\circ}-\angle IA_{0}L)=
=\angle IC_{0}B+(180^{\circ}-\angle IC_{0}B)=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник BA_{0}IC_{0}
вписанный, т. е. точка I
лежит на окружности, описанной около треугольника A_{0}BC_{0}
.
Примечание. 1. Утверждение остаётся справедливым и для случаев, когда точки A_{0}
и C_{0}
расположены на прямых (а не только на отрезках) AB
и BC
. Тогда, если C_{0}
не лежит на луче AB
и (или) A_{0}
не лежит на луче CB
, то длины отрезков AC_{0}
и (или) CA_{0}
будем считать отрицательными.
2. См. статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.
Источник: Журнал «Квант». — 2012, № 2, с. 49-50