6439. Точки X
и Y
движутся с постоянными скоростями (не обязательно равными) по двум фиксированным прямым, пересекающимся в точке O
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника XOY
проходит через две фиксированные точки O
и Z
, где Z
— центр поворотной гомотетии, переводящей положения точек X
и Y
в соответствующие им положения при этом движении.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть X_{0}
и Y_{0}
— первоначальное положении точек X
и Y
, X_{1}
и Y_{1}
— точки, в которых они оказались в результате движения через некоторый промежуток времени, а окружности, описанные около треугольников X_{0}OY_{0}
и X_{1}OY_{1}
пересекаются в точке O
и в отличной от неё точке Z
. Пусть отношение скорости точки X
к скорости точки Y
равно k
. Тогда \frac{X_{0}X_{1}}{Y_{0}Y_{1}}=k
. Треугольник X_{0}OY_{0}
подобен треугольнику X_{1}OY_{1}
, так как
\angle X_{1}X_{0}Z=\angle OX_{0}Z=\angle OY_{0}Z=\angle Y_{1}Y_{0}Z
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а также
\angle X_{0}X_{1}Z=180^{\circ}-\angle OX_{1}Z=180^{\circ}-\angle OY_{1}Z=\angle Y_{0}Y_{1}Z,
причём коэффициент подобия равен k
. Кроме того, \angle Y_{0}ZX_{0}=\angle Y_{1}ZX_{1}
, поэтому при повороте вокруг точки Z
на угол Y_{0}ZX_{0}
и последующей гомотетии с центром Z
и коэффициентом k
треугольник Y_{0}ZY_{0}
перейдёт в треугольник X_{1}ZX_{0}
. Следовательно, Z
— центр поворотной гомотетии, переводящей первый из этих треугольников во второй.
Пусть X_{2}
и Y_{2}
— ещё одно положение точек X
и Y
. Тогда \frac{X_{0}X_{2}}{Y_{0}Y_{2}}=\frac{X_{0}Z}{Y_{0}Z}=k
и \angle X_{2}X_{0}Z=\angle Y_{2}Y_{0}Z
, значит, Z
— центр поворотной гомотетии, переводящей треугольник Y_{0}ZY_{0}
в треугольник X_{2}ZX_{0}
, а так как \angle OX_{2}Z=\angle OY_{2}Z
, то окружность, описанная около треугольника X_{2}OY_{2}
, также проходит через точку Z
.
Примечание. 1. Если скорости точек X
и Y
постоянны (т. е. k=1
), то получаем утверждение задачи 6436 (точки X=A
и Y=C
движутся с одинаковыми скоростями в направлении точки O=B
, A_{0}
и C_{0}
— новые положения этих точек, а Z=B_{1}
— центр поворотной гомотетии с коэффициентом 1).
2. См. статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.