6441. На сторонах CB
и CD
квадрата ABCD
взяты точки M
и K
так, что периметр треугольника CMK
равен удвоенной стороне квадрата. Найдите величину угла MAK
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Повернём треугольник ABM
и данный квадрат вокруг точки A
на 90^{\circ}
так, чтобы вершина B
перешла в D
(рис. 1). Пусть M'
— образ точки M
при этом повороте. Из условия следует, что
MK+MC+CK=BC+CD=(BM+MC)+(CK+KD),
поэтому
MK=BM+KD=DM'+KD=KM'.
Кроме того, AM=AM'
, значит, треугольники AMK
и AKM'
равны по трём сторонам, поэтому, \angle AMK=\angle AM'K
. Следовательно,
\angle MAK=\angle M'AK=\frac{1}{2}\angle MAM'=45^{\circ}.
Второй способ. Рассмотрим вневписанную окружность треугольника CMK
, касающуюся стороны MK
в точке P
(рис. 2). Как известно, она касается продолжений сторон CM
и CK
в точках, отстоящих от вершины C
на расстояние, равное полупериметру треугольника (см. задачу 4805), т. е. в точках B
и D
. Значит, A
— её центр, поэтому
\angle MAP=\angle MAB,~\angle KAP=\angle KAD.
Следовательно,
\angle MAK=\frac{1}{2}\angle BAD=45^{\circ}.