6442. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
биссектриса AL
и медиана CM
пересекаются под прямым углом.
а) Докажите, что CL=LM
.
б) Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. а) Биссектриса AK
треугольника ACM
является его высотой, поэтому треугольник ACM
равнобедренный, AC=AM
. Прямая AL
— серединный перпендикуляр к отрезку CM
, следовательно, LM=LC
.
б) Медиана CM
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому CM=BM=AM
, а так как AC=AM
, то треугольник ACM
равносторонний. Следовательно,
\angle BAC=60^{\circ},~\angle ABC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. —