6443. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
угол между биссектрисой CL
и медианой CM
равен 30^{\circ}
.
а) Докажите, что треугольник CML
равнобедренный.
б) Найдите высоту CH
треугольника ABC
, если AB=8
.
Ответ. 2.
Решение. а) Медиана CM
прямоугольного треугольника ABC
равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), поэтому треугольник AMC
равнобедренный. Значит,
\angle CAM=\angle ACM=\angle ACL-\angle MCL=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BMC=\angle CAM+\angle ACM=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}=\angle MCL.
Следовательно, треугольник CML
равнобедренный.
б) В прямоугольном треугольнике CMH
катет CH
лежит против угла в 30^{\circ}
, следовательно,
CH=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB=2.