6446. Дан треугольник ABC
. Прямая, параллельная AC
, пересекает стороны AB
и BC
в точках P
и T
соответственно, а медиану AM
— в точке Q
. Известно, что PQ=3
, а QT=5
. Найдите длину AC
.
Ответ. 11.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проходящая через точку Q
параллельно стороне BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках N
и L
соответственно (рис. 1). Тогда Q
— середина стороны NL
треугольника ANL
(см. задачу 2607), а так как PQ\parallel AL
, то PQ
— средняя линия треугольника ANL
. Значит, AL=2PQ=6
, а так как CTQL
— параллелограмм, то LC=QT=5
. Следовательно,
AC=AL+LC=6+5=11.
Второй способ. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно стороне AC
, пересекает сторону AB
в точке X
(рис. 2). Тогда MX
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому AC=2MX
.
Пусть MX=x
. Треугольник APQ
подобен треугольнику AXM
по двум углам, поэтому \frac{AQ}{AM}=\frac{3}{x}
. Треугольник QMT
подобен треугольнику AMC
, поэтому \frac{MQ}{AM}=\frac{5}{2x}
. Сложив эти два равенства, получим, что
\frac{AQ}{AM}+\frac{MQ}{AM}=\frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x},
а так как
\frac{AQ}{AM}+\frac{MQ}{AM}=\frac{AQ+MQ}{AM}=\frac{AM}{AM}=1,
то \frac{11}{2x}=1
. Отсюда получаем, что AC=2x=11
.
Третий способ. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно стороне AB
, пересекает сторону AC
в точке Y
(рис. 3). Тогда ML
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому ML
— медиана треугольника AMC
, а так как QT\parallel AC
, то Y
— середина отрезка QT
(см. задачу 2607).
Треугольник MQY
подобен треугольнику AQP
по двум углам, поэтому
\frac{MQ}{QA}=\frac{QY}{QP}=\frac{\frac{5}{2}}{3}=\frac{5}{6}.
Значит, \frac{AM}{MQ}=\frac{11}{5}
. Из подобия треугольников AMC
и QMT
находим, что
AC=QT\cdot\frac{AM}{MQ}=5\cdot\frac{11}{5}=11.