6447. Четырёхугольник ABCD
— вписанный. На его диагоналях AC
и BD
отметили точки K
и L
соответственно, причём AK=AB
и DL=DC
. Докажите, что прямые KL
и AD
параллельны.
Решение. Первый способ. Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Углы при вершинах A
и D
равнобедренных треугольников ABK
и DCL
равны, значит, равны углы при их основаниях, поэтому равны и их внешние углы, т. е. \angle BLC=\angle BKC
. Из точек L
и K
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, C
, K
и L
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника BCKL
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle KLD=180^{\circ}-\angle BLK=\angle KCB=\angle ADB.
Накрест лежащие углы KLD
и ADB
при прямых KL
, AD
и секущей AD
равны, следовательно, KL\parallel AD
.
Второй способ. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Треугольники AOB
и DOC
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AO}{DO}=\frac{AB}{DC}=\frac{AK}{DL},
откуда \frac{AK}{AO}=\frac{DL}{DO}
. Значит, \frac{OK}{AO}=\frac{OL}{DO}
, и треугольники AOD
и KOL
подобны. Тогда \angle KLO=\angle ADO
. Следовательно, KL\parallel AD
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2014-2015, XLI, муниципальный этап, 9 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 9.5, с. 119