6449. Докажите, что для любого прямоугольника ABCD
и произвольной точки P
скалярные произведения \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}
и \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}
равны.
Решение. Поскольку \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}
и \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PB}
, то
AC^{2}=PC^{2}-2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+PA^{2},~BD^{2}=PD^{2}-2\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}+PB^{2},
а так как AC=BD
и PC^{2}+PA^{2}=PD^{2}+PB^{2}
(см. задачу 2169), то
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}.