6452. Дан квадрат, внутри которого лежит точка O
. Докажите, что сумма углов OAB
, OBC
, OCD
и ODA
отличается от 180^{\circ}
не больше, чем на 45^{\circ}
.
Решение. Пусть диагонали квадрата пересекаются в точке S
. Не умаляя общности можно считать, что O
лежит в треугольнике ASB
. Поскольку в треугольниках OSD
и OSB
стороны DS
и BS
равны, сторона SO
— общая, а \angle OSD=\angle ASD+\angle ASO\gt\angle OSB
, то OD\gt OB
(см. задачу 3606). Аналогично докажем, что OC\gt OA
.
Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то
\angle OBS\geqslant\angle ODS,~\angle OAS\geqslant\angle OCS,
а значит,
\angle OBS-\angle ODS\geqslant0,~\angle OCS-\angle OAS\leqslant0.
Тогда
\angle OAB+\angle OBC+\angle OCD+\angle ODA\geqslant
\geqslant\angle OBC+\angle OCD+\angle ODA\geqslant
\geqslant(\angle OBS+\angle SBC)+\angle SCD+(\angle ADS-\angle ODS)=
=(\angle OBS-\angle ODS)+3\cdot45^{\circ}\geqslant3\cdot45^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}.
С другой стороны,
\angle OAB+\angle OBC+\angle OCD+\angle ODA\leqslant
\leqslant(\angle SAB-\angle OAS)+\angle ABC+(\angle OCS+\angle SCD)+\angle SDA=
=(\angle OCS-\angle OAS)+45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ}+45^{\circ}\leqslant180^{\circ}+45^{\circ},
что и требовалось доказать.
Источник: Турнир городов. — 2003-2004, XXV, осенний тур, младшие классы, основной вариант