6466. В треугольнике ABC
медианы AD
и BE
пересекаются в точке M
. Докажите, что если угол AMB
а) прямой; б) острый, то AC+BC\gt3AB
.
Решение. Пусть медианы AF
и BG
треугольника AMB
пересекаются в точке N
. Поскольку EM=\frac{1}{2}BM=MF
, то AM
— медиана треугольника AEF
. В треугольниках AMF
и AME
известно, что AM
— общая сторона, ME=MF
и \angle AMF\leqslant\angle AME
(по условию задачи). Значит, AF\leqslant AE=\frac{1}{2}AC
(см. задачу 3606). Поэтому
AN=\frac{2}{3}AF\leqslant\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}AC=\frac{1}{3}AC.
Аналогично BN\leqslant\frac{1}{3}BC
.
По неравенству треугольника AN+BN\gt AB
. Следовательно,
AC+BC\geqslant3AN+3BN=3(AN+BN)\gt3AB.