6469. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
; O_{A}
, O_{B}
, O_{C}
— центры вписанных окружностей треугольников AB_{1}C_{1}
, BC_{1}A_{1}
, CA_{1}B_{1}
соответственно; T_{A}
, T_{B}
, T_{C}
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC
, CA
, AB
соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_{A}O_{C}T_{B}O_{A}T_{C}O_{B}
равны.
Решение. Лемма 1. Если угол при вершине M
треугольника KMN
— острый, и при этом \frac{MK}{MN}=\cos\angle KMN
, то \angle MKN=90^{\circ}
.
Действительно, опустим перпендикуляр NK_{1}
из вершины N
на прямую MK
(рис. 1). Из прямоугольного треугольника K_{1}MN
находим, что
MK_{1}=MN\cos\angle K_{1}MN=MN\cos\angle KMN=MK.
Поэтому, точка K_{1}
совпадает с точкой K
. Следовательно, треугольник MKN
— прямоугольный и \angle MKN=90^{\circ}
.
Лемма 2. Если CC_{1}
и BB_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
, то треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен \cos\angle BAC
.
Действительно, из прямоугольных треугольников ABB_{1}
и ACC_{1}
находим, что
\frac{AB_{1}}{AB}=\frac{AC_{1}}{AC}=\cos\angle BAC.
Следовательно, треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними (см. задачу 19). При этом коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, т. е. \cos\angle BAC
.
Обратимся к нашей задаче. Пусть I
— центр вписанной окружности данного треугольника ABC
, r
— её радиус, k=\cos\angle BAC
.
По лемме 2 треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
. При этом подобии сторона AC_{1}
первого треугольника соответствует стороне AC
второго, а точка касания X
со стороной AC_{1}
вписанной в первый треугольник окружности, соответствует точке T_{B}
касания со стороной AC
окружности, вписанной во второй. Значит, AX=kAT_{B}=AT_{B}\cos\angle BAC
. Тогда по лемме 1 T_{B}X\perp AC_{1}
. С другой стороны, O_{A}X\perp AC_{1}
как радиус, проведённый в точку касания. Следовательно, точки T_{B}
, O_{A}
и X
лежат на одной прямой, а так как IT_{C}\perp AC_{1}
, то T_{B}O_{A}\parallel IT_{C}
.
Аналогично докажем, что T_{C}O_{A}\parallel IT_{B}
. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника T_{B}O_{A}T_{C}I
попарно параллельны, значит это параллелограмм. Следовательно, T_{B}O_{A}=IT_{C}=r
. Аналогично докажем, что остальные стороны шестиугольника T_{A}O_{C}T_{B}O_{A}T_{C}O_{B}
также равны r
.