6496. На медиане CD
треугольника ABC
отмечена точка E
. Окружность S_{1}
, проходящая через точку E
и касающаяся прямой AB
в точке A
, пересекает сторону AC
в точке M
. Окружность S_{2}
, проходящая через точку E
и касающаяся прямой AB
в точке B
, пересекает сторону BC
в точке N
. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN
касается окружностей S_{1}
и S_{2}
.
Решение. Пусть окружность S_{1}
вторично пересекает CD
в точке F
. Будем считать для определённости, что точка E
лежит между D
и F
(возможно, точки E
и F
совпадают). По теореме о касательной и секущей
DF\cdot DE=AD^{2}=BD^{2},
поэтому и окружность S_{2}
проходит через точку F
.
Поскольку CM\cdot CA=CF\cdot CE=CN\cdot CB
, то \frac{CM}{CN}=\frac{CB}{CA}
, значит треугольники CMN
и CBA
подобны. Поэтому
\angle CMN=\angle CBA,~\angle CNM=\angle CAB.
Через точку M
проведём касательную к окружности S_{1}
. Пусть P
— точка пересечения этой касательной с прямой AB
, а Q
— точка на продолжении отрезка PM
за точку M
.
Поскольку PM=PA
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то
\angle QMC=\angle PMA=\angle MAP=\angle CAB=\angle CNM.
Тогда угол между лучом MQ
и хордой CM
описанной окружности S
треугольника CMN
равен вписанному в эту окружность углу CNM
. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая PQ
— касательная к окружности S
. Таким образом, эта прямая — общая касательная окружностей S_{1}
и S
, проведённая в их общей точке M
. Следовательно, окружности S_{1}
и S
касаются. Аналогично докажем, что касаются окружности S_{2}
и S
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1999-2000, XXVI, заключительный этап, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2000, № 5, с. 51
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 599, с. 78