6501. В произвольном треугольнике ABC
расположена полуокружность с центром O
, диаметром на стороне AB
и касающаяся двух других сторон; проведена касательная MN
, отсекающая вершину C
. Докажите, что угол MON
равен полусумме углов треугольника при вершинах A
и B
.
Указание. См. задачу 4770.
Решение. Обозначим через \alpha
и \beta
углы при вершинах соответственно A
и B
треугольника ABC
. Тогда \angle ACB=180^{\circ}-\alpha-\beta
.
Лучи MO
и NO
— биссектрисы внешних углов при вершинах A
и B
треугольника ABC
(см. задачу 1724), следовательно (см. задачу 4770),
\angle MON=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\frac{\alpha+\beta}{2}.